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【亚博app安全有保障】代数生长简史

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本文摘要:一门科学的历史是那门科学中最名贵的一部门,因为科学只能给我们知识,而历史却能给我们智慧。

一门科学的历史是那门科学中最名贵的一部门,因为科学只能给我们知识,而历史却能给我们智慧。——傅鹰数学的历史是重要的,它是文明史的有价值的组成部门,人类的进步和科学思想是一致的。

—— F. Cajori0、引言数学生长到现在,已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大要说来,数学中研究数的部门属于代数学的领域;研究形的部门,属于几何学的范筹;相同形与数且涉及极限运算的部门,属于分析学的规模。

这三大类数学组成了整个数学的本体与焦点。在这一焦点的周围,由于数学通过数与形这两个观点,与其它科学相互渗透,而泛起了许多边缘学科和交织学科。

在此简要先容代数学的有关历史生长情况。“代数”(algebra)一词最初泉源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米(al-Khowārizmī,约780-850)一本著作的名称,书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wal muqabalah,直译应为《还原与对消的科学》.al-jabr 意为“还原”,这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项;muqabalah 意即“对消”或“化简”,指方程两头可以消去相同的项或合并同类项.在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”,拉丁文“aljebra”一词厥后被许多国家接纳,英文译作“algebra”。

阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记质料,很少流传下来.一般认为他生于花拉子模[Khwarizm,位于阿姆河下游,今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)四周],故以花拉子米为姓.另一说他生于巴格达四周的库特鲁伯利(Qut-rubbullī).祖先是花拉子模人.花拉子米是拜火教徒的后裔,早年在家乡接受初等教育,后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造,并到过阿富汗、印度等地游学,不久成为远近闻名的科学家.东部地域的总督马蒙(al-Ma’mūn,公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米.公元813年,马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后,聘请花拉子米到首都巴格达事情.公元830年,马蒙在巴格达开办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah,是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关),花拉子米是智慧馆学术事情的主要向导人之一.马蒙去世后,花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达事情,直至去世.花拉子米生活和事情的时期,是阿拉伯帝国的政治局势日渐安宁、经济生长、文化生活繁荣富强的时期.花拉子米科学研究的规模十分广泛,包罗数学、天文学、历史学和地理学等领域.他撰写了许多重要的科学著作.在数学方面,花拉子米编著了两部传世之作:《代数学》和《印度的盘算术》.1859年,我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。厥后清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》,卷首有“代数之法,无论何数,皆可以任何记号代之”,亦即:代数,就是运用文字符号来取代数字的一种数学方法。古希腊数学家丢番图(Diophantus)用文字缩写来表现未知量,在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》(Arithmetica)。其中他引入了未知数的观点,创设了未知数的符号,并有建设方法式的思想。

故有“代数学之父”(Father of algebra)的称呼。代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。生长至今,它包罗算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数五个部门。

1、算术算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。--高斯(Gauss,1777-1855)数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。--麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)算术有两种寄义,一种是从中国传下来的,相当于一般所说的“数学”,如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的,源自希腊语,有“盘算技术”之意。

现在一般所说的“算术”,往往指自然数的四则运算;如果是在高等数学中,则有“数论”的寄义。作为现代小学课程内容的算术,主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算,并通过由计数和怀抱而引起的一些最简朴的应用题加以牢固。算术是数学中最古老的一个分支,它的一些结论是在长达数千年的时间里,缓慢而逐渐地建设起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来,并不停凝固在人们意识中的履历。

自然数是在对于工具的有限荟萃举行盘算的历程中,发生的抽象观点。日常生活中要求人们不仅要盘算单个的工具,还要盘算种种量,例如长度、重量和时间。

为了满足这些简朴的量度需要,就要用到分数。现代初等算术运算方法的生长,起源于印度,时间可能在10世纪或11世纪。

它厥后被阿拉伯人接纳,之后传到西欧。15世纪,它被革新成现在的形式。在印度算术的后面,显着地存在着我国古代的影响。

19世纪中叶,格拉斯曼(Grassmann)第一次乐成地挑选出一个基本正义体系,来界说加法与乘法运算;而算术的其它命题,可以作为逻辑的效果,从这一体系中被推导出来。厥后,皮亚诺(Peano)进一步完善了格拉斯曼的体系。

算术的基本观点和逻辑推论规则,以人类的实践运动为基础,深刻地反映了世界的客观纪律性。只管它是高度抽象的,但由于它归纳综合的原始质料是如此广泛,因此我们险些离不开它。同时,它又组成了数学其它分支的最坚实的基础。

2、初等代数作为中学数学课程主要内容的初等代数,其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。

代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的:其一是增加未知数的个数,考察由有几个未知数的若干个方程所组成的二元或三元方程组(主要是一次方程组);其二是增高未知量的次数,考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上生长完备了。1古巴比伦(公元前19世纪~前17世纪)解决了一次和二次方程问题,欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。

我国的《九章算术》(公元世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法,并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。

13世纪我国泛起的天元术(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。代数学符号生长的历史,可分为三个阶段。

第一个阶段为三世纪之前,对问题的解不用缩写和符号,而是写成一篇论文,称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪,对某些较常泛起的量和运算接纳了缩写的方法,称为简化代数。三世纪的丢番图的良好孝敬之一,就是把希腊代数学简化,开创了简化代数。

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然而今后文字叙述代数,在除了印度以外的世界其它地方,还十分普通地存在了好几百年,尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后,对问题的解多数体现为由符号组成的数学速记,这些符号与所体现的内容没有什么显着的联系,称为符号代数。韦达(Viète)在他的《分析方法入门》(Inartem analyticem isagoge,1591)著作中,首次系统地使用了符号表现未知量的值举行运算,提出符号运算与数的区别,划定了代数与算术的分界。韦达是第一个试图建立一般符号代数的的数学家,他开创的符号代数,经笛卡尔(Descarte)革新后成为现代的形式。

笛卡尔用小写字母a, b, c等表现已知量,而用x, y, z代表未知量。这种用法已经成为当今的尺度用法。

“+”、“-”号第一次在数学书中泛起,是1489年维德曼的著作《商业中的巧妙速算法》(Behend und hüpsch Rechnung uff allen kauffmanschafften, 1489)。不外正式为大家所公认,作为加、减法运算的符号,那是从1514年由荷伊克开始的。

1540年,雷科德(R. Rcorde)开始使用现在使用的“=”。到1591年,韦达在著作中大量使用后,才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特(T. Harriot)创用大于号“>”和小于号“<”。

1631年,奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年,笛卡尔第一次使用了根号,并引进用字母表中头前的字母表现已知数、后面的字母表现未知数的习惯做法。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的泛起,那是近代的事了。数的观点的拓广,在历史上并不全是由解代数方程所引起的,但习惯上仍把它放在初等代数里,以求与这门课程的摆设相一致。

公元前4世纪,古希腊人发现无理数。公元前2世纪(西汉时期),我国开始应用负数。1545年,意大利的卡尔达诺(N. Cardano)在《大术》中开始使用虚数。1614年,英国的耐普尔发现对数。

17世纪末,一般的实数指数观点才逐步形成。3、高等代数在高等代数中,一次方程组(即线性方程组)生长成为线性代数理论;而二次以上方程生长成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、稳定量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科,尔后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数,只研究它们的基础。

高次方程组(即非线性方程组)生长成为一门比力现代的数学理论-代数几何。线性代数是高等代数的一大分支。

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我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意,而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的观点,从数学的看法来看不外是有序三元数组的一个荟萃,然而它以力或速度作为直接的物理意义,而且数学上用它能连忙写出物理上所说的事情。

向量用于梯度,散度,旋度就更有说服力。同样,行列式和矩阵如导数一样(虽然在数学上不外是一个符号,表现包罗的极限的长式子,但导数自己是一个强有力的观点,能使我们直接而缔造性地想象物理上发生的事情)。因此,虽然外貌上看,行列式和矩阵不外是一种语言或速记,但它的大多数生动的观点能对新的思想领域提供钥匙。

然而已经证明这两个观点是数学物理上高度有用的工具。线性代数学科和矩阵理论是陪同着线性系统方程系数研究而引入和生长的。

十七世纪日本数学家关孝和提出了行列式(determinant)的观点,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的观点和它的展开已经有了清楚的叙述。而在欧洲,第一个提出行列式观点的是德国的数学家,微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz,1693年)。1750年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》(Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques)中揭晓了求解线性系统方程的重要基本公式(既人们熟悉的Cramer克莱姆规则)。1764年,Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。

对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程,Bezout证明晰系数行列式即是零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论举行系统的论述(即把行列式理论与线性方程组求解相分散)的人。而且给出了一条规则,用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。

就对行列式自己举行研究这一点而言,他是这门理论的奠基人。参照克莱姆和Bezout的事情,1772年,Laplace在《对积分和世界体系的探讨》中,证明晰Vandermonde的一些规则,并推广了他的展开行列式的方法,用r行中所含的子式和它们的余子式的荟萃来展开行列式,这个方法现在仍然以他的名字命名。

1841年,德国数学家雅可比(Jacobi)总结并提出了行列式的最系统的理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家柯西(Cauchy),他大大生长了行列式的理论,在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次接纳了双重足标的新记法,与此同时发现两行列式相乘的公式及革新并证明晰laplace的展开定理。

相对而言,最早使用矩阵观点的是拉格朗日(Lagrange)在1700年后的双线性型事情中体现的。拉格朗日期望相识多元函数的最大、最小值问题,其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些,他首先需要一阶偏导数为0,另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。

这个条件就是今天所谓的正、负的界说。只管拉格朗日没有明确地提出使用矩阵。约莫在1800年,高斯(Gauss)提出了高斯消元法并用它解决了天体盘算和厥后的地球外貌丈量盘算中的最小二乘法问题。

(这种涉及丈量、求取地球形状或当地准确位置的应用数学分支称为测地学。)虽然高斯由于这个技术乐成地消去了线性方程的变量而着名,但早在几世纪中国人的手稿中就泛起相识释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。

在其时的几年里,高斯消去法一直被认为是测地学生长的一部门,而不是数学。而高斯- 约当消去规则最初是泛起在由Wilhelm Jordan撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家Camille Jordan误认为是“高斯- 约当”消去法中的约当。

矩阵代数的富厚生长,人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法界说。二者要在约莫同一时间和同一所在相遇。

1848年,英格兰的J.J. Sylvester首先提出了矩阵(matrix)这个词,它泉源于拉丁语,代表一排数。在1855年矩阵代数获得了Arthur Cayley的进一步生长。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的界说,使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。

他还进一步研究了那些包罗矩阵的逆在内的代数问题。1858年,Cayley在他的矩阵理论文集中提出著名的Cayley-Hamilton理论,即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根。使用单一的字母A来表现矩阵是对矩阵代数生长至关重要的。在生长的早期公式det(AB)=det(A)det(B)为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。

数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语,并证明晰阶数凌驾3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值;给出了相似矩阵的观点,并证明晰相似矩阵有相同的特征值;研究了代换理论。数学家试图研究向量代数,但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然界说。第一个涉及一个不行交流向量积(既V×W不即是W×V)的向量代数是由Hermann Grassmann在他的《线性扩张论》(Die lineale Ausdehnungslehre)一书中提出的(1844)。

他的看法还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中,效果就是现在称之为秩数为1的矩阵,或简朴矩阵。在19世纪末美国数学物理学家Willard Gibbs揭晓了关于《向量分析基础》(Elements of Vector Analysis)的著名叙述。

其后物理学家P.A.M. Dirac提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在20世纪由物理学家给出的。

矩阵的生长是与线性变换密切相连的。到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的界说是由Peano于1888年提出的。二次世界大战后随着现代数字盘算机的生长,矩阵又有了新的寄义,特别是在矩阵的数值分析等方面。

由于盘算机的飞速生长和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值盘算获得定量的解决。于是作为处置惩罚离散问题的线性代数,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。4、数论以正整数作为研究工具的数论,可以看作是算术的一部门,但它不是以运算的看法,而是以数的结构的看法,即一个数可用性质较简朴的其它数来表达的看法来研究数的。

因此可以说,数论是研究由整数按一定形式组成的数系的科学。“2早在公元前3世纪,欧几里得的《原本》讨论了整数的一些性质。

他证明素数的个数是无穷的,他还给出了求两个数的条约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”:在写出从1到N的全部整数的纸草上,依次挖去2、3、5、7……的倍数(各自的倍,3倍,……)以及1,在这筛子般的纸草上留下的便全是素数了。

当两个整数之差能被正整数m除尽时,便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》(公元4世纪)中盘算一次同余式组的“求一术”,有“中国剩余定理”之称。13世纪,秦九韶已建设了比力完整的同余式理论——“大衍求一术”,这是数论研究的内容之一。

丢番图的《算术》中给出了求所有整数解的方法。费尔马指出在n>3时无整数解,对于该问题的研究发生了19世纪的数论。

之后高斯的《数论研究》(1801年)形成了系统的数论。数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法,称为初等数论。17世纪中叶以后,曾受数论影响而生长起来的代数、几何、分析、概率等数学分支,又反过来促进了数论的生长,泛起了代数数论(研究整系数多项式的根—“代数数”)、几何数论(研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”—“空间格网”)。19世纪后半期泛起相识析数论,用分析方法研究素数的漫衍。

二十世纪泛起了完备的数论理论。5、抽象代数抽象代数(Abstract algebra)又称近世代数(modern algebra),它发生于十九世纪。

抽象代数是研究种种抽象的正义化代数系统的数学学科。由于代数可处置惩罚实数与复数以外的物集,例如向量、矩阵超数、变换(transformation)等,这些物集的划分是依它们各有的演算定律而定,而数学家将个体的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来,并因此而到达更高条理,这就降生了抽象代数。抽象代数,包罗有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相联合发生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。

抽象代数已经成了今世大部门数学的通用语言。被誉为天才数学家的伽罗瓦(Galois, Evariste,1811-1832)是近世代数的首创人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件,他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最良好的数学成就之一。

他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三平分任意角或倍立方体的问题都是不行解的。最重要的是,群论开发了全新的研究领域,以结构研究取代盘算,把从偏重盘算研究的思维方式转变为用结构看法研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速生长成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和生长发生了庞大影响。

同时这种理论对于物理学、化学的生长,甚至对于二十世纪结构主义哲学的发生和生长都发生了庞大的影响。(1843年,哈密顿(Hamilton, W. R. )发现了一种乘法交流律不建立的代数——四元数代数。第二年,Grassmann推演出更有一般性的几类代数。1857年,Cayley设计出另一种不行交流的代数——矩阵代数。

他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上,削弱或删去普通代数的某些假定,或将某些假定代之以此外假定与其余假定是兼容的),就能研究出许多种代数体系。1870年,克隆尼克(Kronecker)给出了有限阿贝尔群的抽象界说;狄德金开始使用“体”的说法,并研究了代数体;1893年,韦伯界说了抽象的体;1910狄德金和克隆尼克建立了环论;1910年,施坦尼茨总结了包罗群、代数、域等在内的代数体系的研究,开创了抽象代数学。

年,施坦尼茨展开了体的一般抽象理论;有一位良好女数学家被公认为抽象代数奠基人之一,被誉为代数女皇,她就是诺特(Emmy Noether), 1882年3月23日生于德国埃尔朗根,1900年入埃朗根大学,1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。诺特的事情在代数拓扑学、代数数论、代数几何的生长中有重要影响。1907-1919年,她主要研究代数稳定式及微分稳定式。

她在博士论文中给出三元四次型的稳定式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。

对有限群的稳定式具有有限基给出一个结构性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分稳定式,在格丁根大学的就职论文中,讨论一连群(李群)下稳定式问题,给出诺特定理,把对称性、稳定性和物理的守恒律联系在一起。1920~1927年间她主要研究交流代数与「交流算术」。

1916年后,她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年,她已引入「左模」、「右模」的观点。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交流代数生长的里程碑。

建设了交流诺特环理论,证明晰准素剖析定理。1926年揭晓<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象结构>>,给感德金环一个正义描画,指出素理想因子唯一剖析定理的充实须要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论,一般认为抽象代数形式的时间就是1926年,今后代数学研究工具从研究代数方程根的盘算与漫衍,进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算纪律和种种代数结构,完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。

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诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。1927-1935年,诺特研究非交流代数与「非交流算术」。

她把表现理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交织积的观点并用决议有限维枷罗瓦扩张的布饶尔群。

最后导致代数的主定理的证明,代数数域上的中心可除代数是循环代数。诺特的思想通过她的学生范.德.瓦尔登的名著<<近世代数学>>获得广泛的流传。

她的主要论文收在<<诺特全集>>(1982)中。1930年,毕尔霍夫建设格论,它源于1847年的布尔代数;第二次世界大战后,泛起了种种代数系统的理论和布尔巴基学派;1955年,嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建设了同调代数理论。到现在为止,数学家们已经研究过200多种这样的代数结构,其中最主要德若今世数和李代数是不平从联合律的代数的例子。

这些事情的绝大部门属于20世纪,它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中获得了充实的反映。6、后记现在,可以笼统地把代数学解释为关于字母盘算的学说,但字母的寄义是在不停地拓广的。在初等代数中,字母表现数;而在高等代数和抽象代数中,字母则表现向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等种种形式的量。

可以说,代数已经生长成为一门关于形式运算的一般学说了。一个带有形式运算的荟萃称为代数系统,因此,代数是研究一般代数系统的一门科学。


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